FRACTALES

La idea generada por los estudiosos de objetos que no pueden existir según Euclides, resulta sumamente interesante para el desarrollo de imágenes, pero entender como funciona esta nueva geometría resulta un reto.

En este documento se explican varios términos necesarios para comprender en su dimensión real las capacidades y posibilidades de los FRACTALES.
Partiendo desde la curva de Koch, el conjunto de Cantor, nos queda claro como se crean los FRACTALES.
Las funciones iteradas o recursivas nos sirven para crear FRACTALES que llamamos autosemejantes, donde cada parte es una repetición del original transformado gracias a una composición de funciones, conoceremos términos como contractiva y atractividad para variar los diferentes sistemas de funciones iteradas.
Dentro de las aplicaciones de Fractales, podemos transformar imágenes al ser contraídas con el propósito de ahorrar espacio en el momento de almacenar dichas imágenes en memoria. Nos sirve para predicción del tiempo, para ver como pueden crecer ciertas poblaciones de seres vivos y otras muchas que quizá todavía no hemos visto.
En la parte de bibliografía se anexan varios sitios interesantes desde el punto de vista matemático y gráfico de la formación de FRACTALES.

ANTECEDENTES HISTÓRICOS

Wiener desde su concepto de caos (movimiento browniano no derivable). Influencia tardía de Jean Perrin ("Les atomes"/1913) donde evoca objetos irregulares de curvas no derivables. Bachelard "filosofía del no" (curvas no derivables).
Benoit Mandelbrot, a partir de teragonos o polígonos imposibles y figuras monstruosas como el copo de Von Koch, la curva de Peano, la alfombra de Serpinsky, construye una geometría fractal o de la naturaleza.
J.E.Hutchinson fue en 1981 el primer matemático que estudiando las propiedades comunes (compacidad, autosemejanza,...) de los fractales ya conocidos, elaboró una teoría unificada para la obtención de una amplia clase de conjuntos fractales: los fractales autosemejantes.
M.F.Barnsley, en 1985, estudió una generalización del método de J.E.Hutchinson. Mientras que J.E.Hutchinson utilizaba semejanzas contractivas, M.F.Barnsley utiliza aplicaciones contractivas, lo que le permite ampliar notablemente la familia de fractales obtenidos. El método de M.F.Barnsley descubre la posibilidad de encontrar un fractal que se aproxime, tanto como queramos, a un objeto natural.
M.F.Barnsley utiliza el término fractal para referirse a cualquier conjunto compacto y no vacío.
El método de M.F.Barnsley para generar conjuntos fractales, se basa en los sistemas de funciones iteradas (SFI).

DEFINIENDO LOS FRACTALES

Fractal viene de "fractus": interrumpido, irregular.
Fractales son curvas no derivables por ser infinitamente fracturadas.

La dimensión fractal:

La medición de formas fractales (fronteras, poligonales, etc,) ha obligado a introducir conceptos nuevos que van más allá de los conceptos geométricos clásicos. Dado que un fractal está constituido por elementos cada vez más pequeños, el concepto de longitud no está claramente definido: Cuando se quiere medir una linea fractal con una unidad, o con un instrumento de medida determinado, siempre habrá objetos más finos que escaparán a la sensibilidad de la regla o el instrumento utilizado, y también a medida que aumenta la sensibilidad del instrumento aumenta la longitud de la línea.
COMO SE FORMAN LOS FRACTALES
Esto sucede con la curva de Koch. Cada paso en la génesis de la curva aumenta un tercio su longitud. Es decir la longitud de la curva que ocupa el espacio inicial va aumentando en cada paso su longitud de forma indefinida. Cada curva es 4/3 de la anterior:
Así por ejemplo en el caso de la curva poligonal de nivel 10, la longitud es 1.(4/3)^(10-1):
De esta forma la curva aumentaría indefinidamente su longitud para un fragmento acotado de curva. ¿Puede esto ser así?.

LONGITUD FRACTAL

Como la longitud de la linea fractal depende de la longitud de instrumento, o de la unidad de medida que tomemos, la noción de longitud en estos casos, carece de sentido. Para ello se ha ideado otro concepto: el de dimensión fractal. Que en el caso de las líneas fractales nos va a indicar de qué forma o en que medida una linea fractal llena una porción de plano.
Y que además sea una generalización de la dimensión euclidea. Sabemos que en geometría clásica un segmento tiene dimensión uno, un círculo tiene dimensión dos, y una esfera tiene dimensión tres. Para que sea coherente con lo dicho una línea fractal tiene que tener dimensión menor que dos (no llena toda la porción de plano). Y en los casos del conjunto de Cantor y de la curva de Koch menor y mayor que uno respectivamente: En el primer caso no llena todo el segmento de recta, y en el segundo es más largo.